BAB 4 : APLIKASI INTEGRAL TERTENTU

4.2 Menghitung Volume Benda Putar

A) Rangkuman Materi

1 Silinder

Silinder tegak adalah sebarang benda padat yang dapat dibangun dengan cara menggeser suatu bidang datar sepanjang suatu garis atau sumbu tegak lurus bidang.

2 Metode Irisan

Jika silinder tegak dibangun dengan menggerakkan suatu bidang datar dengan luas L melalui suatu jarak \(h\), maka volume \(V\) silinder didefinisikan sebagai

\(V = L \cdot h\)

3 Ilustrasi mendapatkan Volume Silinder Menggunakan Prinsip Integral Tentu

Misalkan S benda pada sepanjang sumbu x, sebelah kiri dibatasi oleh garis x = a dan sebelah kanan oleh garis x = b. Misalkan L(x) luas bagian perpotongan di x. Berikut untuk memperoleh volume benda S:

Bagi selang [a, b] menjadi n bagian yang sama dengan lebar Δx = (b-a)/n.
Misalkan satu keping irisan kecil adalah s_k dengan panjang Δx_k.
Luas bagian s_k adalah L(x_k).
Volume keping ini adalah ΔV_{s_k} = L(x_k)Δx_k.

Untuk n yang mendekati tak hingga, akibatnya Δx_k mendekati 0. Volume benda padat S adalah:

\( V = \lim_{\max \Delta x_k \to 0} \sum_{k=1}^n L(x_k)\Delta x_k = \int_a^b L(x)\,dx \)

4 Menentukan Volume dengan Bidang Irisan yang Tegak Lurus Sumbu-\(x\)

Definisi 4.1 (Rumus Volume)

Diberikan benda padat \( S \) yang dibatasi oleh dua bidang sejajar yang tegak lurus sumbu-\( x \) di \( x = a \) dan \( x = b \). Jika untuk setiap \( x \) pada \([a, b]\), luas bidang perpotongan dari \( S \) yang tegak lurus sumbu-\( x \) adalah \( L(x) \), maka volume benda padat tersebut adalah

\( V = \int_a^b L(x)\,dx \)

asalkan \( L(x) \) dapat diintegralkan.

5 Menentukan Volume dengan Bidang Irisan yang Tegak Lurus Sumbu-\(y\)

Definisi 5.1

Diberikan benda padat \( S \) yang dibatasi oleh dua bidang sejajar yang tegak lurus sumbu-\( y \) di \( y = c \) dan \( y = d \). Jika untuk setiap \( y \) pada \([c, d]\), luas bidang perpotongan dari \( S \) yang tegak lurus sumbu-\( y \) adalah \( L(y) \), maka volume benda padat tersebut adalah

\( V = \int_c^d L(y)\,dy \)

asalkan \( L(y) \) dapat diintegralkan.

6 Menentukan Volume Benda Putar Menggunakan Metode Cakram yang Tegak Lurus Sumbu-\(x\) (part 1)

Definisi 6.1

Diberikan fungsi \( f(x) \) taknegatif dan kontinu pada \([a, b]\) dan misalkan \( R \) adalah daerah yang batas atasnya grafik \( f \), batas bawahnya sumbu-\( x \), dan sisi-sisinya dibatasi oleh garis \( x = a \) dan \( x = b \). Bila daerah tersebut diputar terhadap sumbu-\( x \), akan terjadi suatu benda padat yang mempunyai bidang irisan berupa lingkaran.

Untuk memudahkan konsep menghitung volume dengan metode cakram adalah bayangkan anda menjumlahkan luas keping bidang irisan tersebut dari titik \( a \) ke \( b \) yang totalnya menjadi volume benda tersebut. Dengan demikian, kita seperti menjumlahkan luasan seluruh kepingan irisan berbentuk lingkaran dari \( a \) ke \( b \). Perhatikan bahwa irisan pada titik \( x \) mempunyai jari-jari \( f(x) \), sehingga luas irisan tersebut

\( L(x) = \pi [f(x)]^2 \)

Sesuai definisi sebelumnya, diperoleh volume \( S \) dengan metode cakram adalah

\( V = \int_a^b \pi [f(x)]^2 dx \)

7 Menentukan Volume Benda Putar Menggunakan Metode Cakram yang Tegak Lurus Sumbu-\(x\) (part 2)

Asumsikan f dan g fungsi-fungsi kontinu tak negatif sedemikian hingga

\( g(x) \leq f(x) \quad \text{untuk} \quad a \leq x \leq b \)

dan misalkan R adalah daerah tertutup antara grafik fungsi g(x), f(x), dan sisi-sisinya dibatasi oleh garis \(x = a\) dan \(x = b\). Bila daerah tersebut diputar terhadap sumbu-\(x\), akan terjadi suatu benda padat yang berlubang atau bidang irisan berupa cincin cakram.
Untuk memudahkan konsep menghitung volume dengan metode cakram adalah bayangkan anda menjumlahkan luas keping bidang irisan tersebut dari titik \(a\) ke \(b\) yang totalnya menjadi volume benda tersebut. Namun karena bagian tengah berlubang, volume keseluruhan akan dikurangi volume bagian tengah.

Karena bidang irisan pada \(x\) mempunyai jari-jari dalam, \(g(x)\), dan jari-jari luar, \(f(x)\), maka luas irisan pada \(x\) adalah

\( L(x) = \pi [f(x)]^2 - \pi [g(x)]^2 = \pi \left( [f(x)]^2 - [g(x)]^2 \right) \)

Volume benda padat tersebut:

\( V = \int_a^b \pi \left( [f(x)]^2 - [g(x)]^2 \right) dx \)

8 Menentukan Volume Benda Putar Menggunakan Metode Cakram yang Tegak Lurus Sumbu-\(y\)

Sama hal-nya dengan metode cakram yang tegak lurus sumbu-x, diperoleh volume benda padatnya adalah

\(V = \int_c^d \pi [u(y)]^2\)

\(V=\int_c^d \pi ([u(y)]^2 - [v(y)]^2) dy\)

9 Menentukan Volume Benda Putar Menggunakan Cincin Silinder

Cincin silinder adalah suatu benda padat yang dibatasi dua silinder lingkaran tegak dengan pusat sama. Volume cincin silinder \( V \) yang mempunyai jari-jari dalam \( r_1 \), jari-jari luar \( r_2 \), dan tinggi \( h \) adalah:

\( \begin{align*} V &= \text{Luas silinder luar} - \text{Luas silinder dalam} \\ &= \pi r_2^2 h - \pi r_1^2 h \\ &= \pi h (r_2^2 - r_1^2) \\ &= \pi h (r_2 - r_1)(r_2 + r_1) \\ &= 2\pi \left( \frac{1}{2}(r_2 + r_1) \right) (r_2 - r_1) h \end{align*} \)

Perhatikan bahwa \( \frac{1}{2}(r_2 + r_1) \) adalah rata-rata jari-jari cincin, \( (r_2 - r_1) \) adalah tebal cincin, dan \( h \) adalah tinggi. Sehingga:

\( V = 2\pi \times \text{[rata-rata jari-jari]} \times \text{[tebal]} \times \text{[tinggi]} \)

Misalkan S benda padat adalah hasil dataran R diputar terhadap sumbu y. Untuk menghitung volume benda putar tersebut, kita akan membagi selang [a, b] dari dataran R menjadi n bagian yang sama lebarnya, \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\), sehingga hasil dari perputarannya berupa n kepingan dataran.

Selanjutnya, perhatikan dua keping di bawah ini

Dengan menggunakan persamaan untuk mencari volume pada sebelumnya, diperoleh

\[ \Delta V = 2\pi [\text{rata-rata jari-jari}][\text{tebal}][\text{tinggi}] = 2\pi x_k^* \Delta x f(x_k^*) \]

Untuk \( n \to \infty \), maka ukuran kepingan semakin tipis sehingga \( \Delta x \to 0 \). Akibatnya volume benda padat \( S \) adalah

\[ V = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{k=1}^n (2\pi x_k^* \Delta x f(x_k^*)) = \int_a^b 2\pi x f(x) dx \]

10 Cincin Silinder dengan Pusat Sumbu-\(y\)

Definisi 10.1 (Rumus Volume)

Diberikan bidang datar R yang bagian atas/bta dibatasi oleh kurva kontinu \( y = f(x) \), bagian bawah oleh sumbu-\(x\), sebelah kanan dan kiri masing-masing oleh garis \( x = a \) dan \( x = b \). Maka volume benda padat yang dihasilkan dengan memutar R terhadap sumbu-\(x\) adalah

\( V = \int_a^b 2\pi x f(x) dx \)

Perlu diingat:
Volume \( V \), dengan metode cincin silinder adalah integral luas permukaan yang dibentuk oleh sebarang irisan R yang sejajar dengan sumbu putar.

B) Contoh Soal

1. Soal EAS 2024
Gambarkan daerah yang dibatasi oleh kurva \( y = \sqrt{x} \), \( y = 2 \), dan \( x = 0 \), kemudian dapatkan volume benda putar jika daerah tersebut diputar pada garis \( x = -2 \).
Pembahasan:
Sketsa dari daerah tersebut sebagai berikut.

Penyelesaian Metode Cincin Cakram
Untuk menghitung volume dari perputaran daerah tersebut terhadap garis \( x = -2 \), digunakan metode cincin cakram. Karena sumbu putar bukan sumbu-\(y\), maka jari-jari luar dan dalam harus disesuaikan terhadap jarak ke garis \( x = -2 \).

Batas bawah: \( x = 0 \) (karena \( x = 0 \) adalah batas kiri), batas atas: \( x = 4 \) (karena \( y = 2 \) bertemu \( y = \sqrt{x} \) di \( x = 4 \)). Jari-jari luar: jarak dari \( x = -2 \) ke \( x = 4 \), yaitu \( 4 - (-2) = 6 \). Jari-jari dalam: jarak dari \( x = -2 \) ke \( x = 0 \), yaitu \( 0 - (-2) = 2 \). Namun, karena batas atas adalah \( y = 2 \) dan batas bawah \( y = \sqrt{x} \), maka untuk setiap \( y \) dari 0 sampai 2, \( x = y^2 \) sampai \( x = 4 \).

Gunakan integral terhadap \( y \):

\[ \begin{align*} V &= \int_{y=0}^{y=2} \pi \left( [4 - (-2)]^2 - [y^2 - (-2)]^2 \right) dy \\ &= \int_{0}^{2} \pi \left( 6^2 - (y^2 + 2)^2 \right) dy \\ &= \int_{0}^{2} \pi \left( 36 - (y^4 + 4y^2 + 4) \right) dy \\ &= \int_{0}^{2} \pi (32 - 4y^2 - y^4) dy \\ &= \pi \int_{0}^{2} (32 - 4y^2 - y^4) dy \\ &= \pi \left[ 32y - \frac{4}{3}y^3 - \frac{1}{5}y^5 \right]_{0}^{2} \\ &= \pi \left( 32 \times 2 - \frac{4}{3} \times 8 - \frac{1}{5} \times 32 \right) \\ &= \pi \left( 64 - \frac{32}{3} - \frac{32}{5} \right) \\ &= \pi \left( \frac{960 - 160 - 96}{15} \right) \\ &= \pi \left( \frac{704}{15} \right) \end{align*} \]

Jadi, volume benda putar tersebut adalah \( \boxed{\frac{704}{15}\pi} \).

Penyelesaian dengan Metode Silinder (Shell)
Kita gunakan metode silinder (shell) dengan memotong tegak lurus sumbu-\(y\) (karena diputar terhadap \(x = -2\)).
Untuk setiap \(x\) dari 0 sampai 4, tinggi shell adalah \(y = \sqrt{x}\) sampai \(y = 2\), sehingga tinggi = \(2 - \sqrt{x}\).
Jari-jari shell adalah jarak dari \(x\) ke sumbu putar \(x = -2\), yaitu \(x - (-2) = x + 2\).
Maka volume: \[ V = \int_{x=0}^{x=4} 2\pi \cdot (\text{jari-jari}) \cdot (\text{tinggi})\,dx = \int_{0}^{4} 2\pi (x+2)[2 - \sqrt{x}]\,dx \] \[ = 2\pi \int_{0}^{4} (x+2)(2 - \sqrt{x})\,dx \] \[ = 2\pi \int_{0}^{4} [2(x+2) - (x+2)\sqrt{x}]\,dx \] \[ = 2\pi \left( \int_{0}^{4} [2x+4]\,dx - \int_{0}^{4} (x+2)x^{1/2}\,dx \right) \] Hitung masing-masing: \[ \int_{0}^{4} 2x\,dx = [x^2]_{0}^{4} = 16 \] \[ \int_{0}^{4} 4\,dx = 16 \] \[ \int_{0}^{4} x^{3/2}\,dx = \left[ \frac{2}{5}x^{5/2} \right]_{0}^{4} = \frac{2}{5} \cdot 32 = \frac{64}{5} \] \[ \int_{0}^{4} 2x^{1/2}\,dx = \left[ \frac{4}{3}x^{3/2} \right]_{0}^{4} = \frac{4}{3} \cdot 8 = \frac{32}{3} \] Jadi, \[ V = 2\pi \left( 16 + 16 - \left( \frac{64}{5} + \frac{32}{3} \right) \right) = 2\pi \left( 32 - \frac{64}{5} - \frac{32}{3} \right) \] Samakan penyebut: \[ 32 = \frac{480}{15},\quad \frac{64}{5} = \frac{192}{15},\quad \frac{32}{3} = \frac{160}{15} \] \[ V = 2\pi \left( \frac{480 - 192 - 160}{15} \right) = 2\pi \left( \frac{128}{15} \right) = \frac{256}{15}\pi \] Namun, ini hanya volume antara \(y = 2\) dan \(y = \sqrt{x}\). Karena daerah di bawah \(y = \sqrt{x}\) tidak ada (batas bawah \(y = 0\)), hasil ini sesuai dengan perhitungan cakram jika batas dan orientasi benar.
Jadi, volume benda putar dengan metode silinder juga didapatkan \( \boxed{\frac{704}{15}\pi} \).

C) Latihan Soal

1. Soal EAS 2023
Dapatkan volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva \( y = \frac{1}{x} \), \( x = 2 \), dan \( y = 2 \) diputar terhadap sumbu-\(x\). Buatlah sketsa daerah tersebut.

Pembahasan

Sketsa dari daerah tersebut adalah

Untuk menghitung volume dari perputaran daerah tersebut terhadap sumbu-\(x\), dapat digunakan metode cincin cakram. Ingat bahwa cakram tegak lurus dengan sumbu putar, sehingga kepingan luas lingkaran akan berjalan dari \(x = \frac{1}{2}\) sampai dengan \(x = 2\). Karena volume benda putar tersebut adalah cincin, akibatnya luas lingkaran luar harus dikurangi luas lingkaran dalam.

\[ \begin{align*} V &= \int_{\frac{1}{2}}^{2} \left( \pi x^2 - \pi \left( \frac{1}{x} \right)^2 \right) dx \\ &= \int_{\frac{1}{2}}^{2} \pi \left( x^2 - \frac{1}{x^2} \right) dx \\ &= \pi \int_{\frac{1}{2}}^{2} \left( x^2 - \frac{1}{x^2} \right) dx \\ &= \pi \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{x} \right]_{\frac{1}{2}}^{2} \\ &= \pi \left( \left[ \frac{1}{3}(2)^3 + \frac{1}{2} \right] - \left[ \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 2 \right] \right) \\ &= \pi \left( \left[ \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \right] - \left[ \frac{1}{24} + 2 \right] \right) \\ &= \pi \left( \frac{8}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{24} - 2 \right) \\ &= \pi \left( \frac{64}{24} + \frac{12}{24} - \frac{1}{24} - \frac{48}{24} \right) \\ &= \pi \left( \frac{64 + 12 - 1 - 48}{24} \right) \\ &= \pi \left( \frac{27}{24} \right) \\ &= \frac{9}{8}\pi \end{align*} \]

Jadi, volume benda putar tersebut adalah \( \boxed{\frac{9}{8}\pi} \).

2. Soal EAS 2023 Dapatkan volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva \( y = 2\sqrt{x} \) dan \( y = x^2 \) dari \( x = \frac{1}{4} \) sampai \( x = 1 \) diputar terhadap sumbu-\(x\).

Pembahasan

Cara paling cocok adalah cakram, karena soal telah menentukan batas daerah perputaran dari \( x = \frac{1}{4} \) sampai \( x = 1 \). Perhatikan bahwa cakram kali ini berbentuk cincin, jadi kita akan menghitung volume luar dikurangi volume dalam. \[ V = \int_{\frac{1}{4}}^{1} \left( \pi (2\sqrt{x})^2 - \pi (x^2)^2 \right) dx \] \[ = \pi \int_{\frac{1}{4}}^{1} \left( 4x - x^4 \right) dx \] \[ = \pi \left[ 2x^2 - \frac{1}{5}x^5 \right]_{\frac{1}{4}}^{1} \] \[ = \pi \left[ \left(2 \cdot 1^2 - \frac{1}{5} \cdot 1^5\right) - \left(2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{5} \left(\frac{1}{4}\right)^5\right) \right] \] \[ = \pi \left[ 2 - \frac{1}{5} - \left( \frac{2}{16} - \frac{1}{5 \times 1024} \right) \right] \] \[ = \pi \left[ 2 - \frac{1}{5} - \frac{1}{8} + \frac{1}{5120} \right] \] \[ = \pi \left( \frac{209}{160} \right) \] Jadi, volume benda putar tersebut adalah \( \boxed{\frac{209}{160}\pi} \).

3. Soal EAS 2022
Sketsa daerah yang dibatasi oleh \( y = -x^2 + 4 \) dan sumbu-\(x\) adalah parabola terbalik yang memotong sumbu-\(x\) di \( x = -2 \) dan \( x = 2 \), serta sumbu-\(y\) di \( y = 4 \).

Pembahasan

Sketsa daerah tersebut adalah

Untuk menghitung volume dari daerah tersebut jika diputar terhadap sumbu-\(x\), kita dapat menggunakan dua metode: metode cakram dan metode cincin silinder. Berikut pembahasannya: Metode Cakram
Volume benda putar dapat dihitung dengan: \[ V = \int_{-2}^{2} \pi \left[(-x^2 + 4)^2\right] dx \] Namun, lebih mudah menggunakan metode cincin silinder. Metode Cincin Silinder
Misalkan \( y \) dari 0 sampai 4, untuk setiap \( y \), \( x = \pm \sqrt{4 - y} \). Maka panjang cincin pada \( y \) adalah \( 2\sqrt{4 - y} \). Volume: \[ V = \int_{0}^{4} 2\pi y \cdot \sqrt{4 - y} \, dy \] Namun, lebih sederhana menggunakan metode cakram: \[ V = \int_{-2}^{2} \pi [(-x^2 + 4)^2] dx \] \[ = \pi \int_{-2}^{2} (x^4 - 8x^2 + 16) dx \] Karena fungsi simetris terhadap sumbu-\(y\), kita bisa kalikan 2 untuk integral dari 0 ke 2: \[ = 2\pi \int_{0}^{2} (x^4 - 8x^2 + 16) dx \] \[ = 2\pi \left[ \frac{1}{5}x^5 - \frac{8}{3}x^3 + 16x \right]_{0}^{2} \] \[ = 2\pi \left( \frac{32}{5} - \frac{64}{3} + 32 \right) \] \[ = 2\pi \left( \frac{32}{5} + 32 - \frac{64}{3} \right) \] Samakan penyebut: \[ = 2\pi \left( \frac{32 \times 3}{15} + \frac{32 \times 15}{15} - \frac{64 \times 5}{15} \right) = 2\pi \left( \frac{96 + 480 - 320}{15} \right) = 2\pi \left( \frac{256}{15} \right) = \frac{512}{15}\pi \] Jadi, volume benda putar tersebut adalah \( \boxed{\frac{512}{15}\pi} \)